题目内容

12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，过点P作PE⊥BC交BC于E，交AC于D，连接BD，有下列结论：①ED=$\frac{1}{2}$AB；②∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC；③BD=$\frac{1}{2}$AC；④DE=$\frac{1}{2}$DC．其中正确的是（　　）
A．①②B．③④C．①③D．②④

分析 直接利用基本作图的方法得出PE垂直平分线段BC，进而利用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质得出答案．

解答 解：∵以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，过点P作PE⊥BC交BC于E，
∴PE垂直平分线段BC，
∵∠ABC=90°，∠DEC=90°，
∴DE∥AB，
又∵BE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，故①正确；
无法得出②∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，故此选项错误；
∵D为AC的中点，∠ABC=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，故选项③正确；
无法得出④DE=$\frac{1}{2}$DC，故此选项错误；
故选：C．

点评 此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．

练习册系列答案
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