Question

2．如图，直线AB与CD相交于O，OD是∠BOE的平分线，∠DOF=90°
（1）OF平分∠AOE吗？请说明理由；
（2）直接写出∠DOE的补角；
（3）若∠BOE=58°，直接写出∠AOD和∠EOF的度数．

Answer 1

分析 （1）利用对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，OD平分∠BOE，得出∠BOD=∠DOE，在进一步利用等角的余角相等求得∠AOF=∠EOF，从而求解；
（2）利用补角的意义找出和∠DOE互补的角即可；
（3）利用（1）（2）的结论求得问题即可．

解答 解：（1）∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD=∠DOE，
又∵∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=∠AOC，
∵OF⊥OD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠AOF=∠EOF，
∴OF平分∠AOE；

（2）∠DOE+∠COE=180°，
∵∠BOD=∠DOE，
∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠DOE+∠BOC=180°，
∵∠BOD=∠AOC，
∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠DOE+∠AOD=180°，
∴图中和∠DOE互补的角有∠COE，∠BOC，∠AOD；

（3）∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOE=29°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=151°，
∠EOF=90°-∠DOE=61°．

点评 本题考查了角平分线、补角、余角、垂线的定义以及角的计算．