Question

18．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且关于x的一元二次方程（b+c）x²-2ax-（b-c）=0有两个相等的实数根．
（1）判断此三角形的形状；
（2）若a=b，设点P为的边AB上任一点，PE⊥BC于E，M为AP的中点，过A作BC的平行线，MD⊥ME交此平行线于D，当点P在线段AB上运动的时候，求$\frac{MD}{ME}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得出△=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）过M作GF⊥BC，交AD于F，交BC于G，由题意得出△ABC是等腰直角三角形，△BEP、△AFM为直角三角形，证出∠D=∠2，得出△DMF∽△MEG，得出对应边成比例$\frac{DM}{ME}=\frac{MF}{EG}$，设BE=x，则BP=$\sqrt{2}$x，EC=a-x，PA=$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$（a-x），得出AM、MF、EG，即可得出答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等实数根，
∴△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．
（2）过M作GF⊥BC，交AD于F，交BC于G，
∵a=b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠MAF=45°，
∴△BEP、△AFM为直角三角形，
在Rt△DMF和Rt△MEG中，∠DFM=∠MGE=90°，
∴∠D+∠1=90°，∠2+∠1=90°，
∴∠D=∠2，
∴△DMF∽△MEG，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{MF}{EG}$，
设BE=x，则BP=$\sqrt{2}$x，EC=a-x，PA=$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$（a-x），
∵MG是梯形PECA的中位线，
∴AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{2}（a-x）}{2}$，MF=AM•sin45°=$\frac{a-x}{2}$，EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$（a-x），
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{MF}{EG}$=$\frac{\frac{1}{2}（a-x）}{\frac{1}{2}（a-x）}$=1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根的判别式、勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，有一定难度．