Question

14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/秒向点B速度移动，点Q从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，当Q点到达C点时，P，Q停止移动，如果P，Q分别从A，B同时出发；
（1）几秒钟后P、Q间的距离等于$2\sqrt{13}$cm？
（2）几秒钟后直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分？
（3）几秒钟后直线PQ将△ABC分成相等的两部分？

Answer 1

分析 由题意根据勾股定理求得AC=10cm，设出运动时间，分别表示出AP、BQ、BP、CQ；
（1）根据勾股定理建立方程求得答案即可；
（2）利用PB+BQ是△ABC周长的一半建立方程解答即可；
（3）利用△PBQ的面积是△ABC面积的一半建立方程解答即可．

解答 解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm；
（1）设x秒钟后P、Q间的距离等于$2\sqrt{13}$cm，则AP=xcm，BQ=2xcm，BP=（8-x）cm，由题意得
则（2x）²+（8-x）²=（2$\sqrt{13}$）²
解得：x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=2．
答：$\frac{6}{5}$秒或2秒钟后P、Q间的距离等于$2\sqrt{13}$cm；
（2）设y秒钟后直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分，则AP=ycm，BQ=2ycm，BP=（8-y）cm，由题意得
2y+8-y=$\frac{1}{2}$×（6+8+10）
解得：y=4，
则2y=8＞6．
所以不存在直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分．
（3）设z秒钟后直线PQ将△ABC分成相等的两部分，则AP=zcm，BQ=2zcm，BP=（8-z）cm，由题意得
$\frac{1}{2}$×2z（8-z）=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{1}{2}$
解得：z=2或z=6．
答：2秒钟或6秒钟后直线PQ将△ABC分成相等的两部分．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，勾股定理的运用，三角形的面积，准确读题找到关键描述语，然后找到等量关系是解决问题的关键．