Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，A（-6，0），C（0，8），抛物线y=ax²-10ax+c经过点C，且顶点M在直线BC上，则抛物线解析式为

 

；若点P在抛物线上且满足S_△PBD=S_△PCD，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标．

解答：解：∵y=ax²-10ax+c，
∴对称轴为直线x=-

-10a

2a

=5．
设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

0=4k+b 8=b

，
解得

k=-2 b=8

．
∴y=-2x+8．
∵点M在直线y=-2x+8上，
∴n=-2×5+8=-2．
又∵抛物线y=ax²-10ax+c经过点C和M，
∴

c=8 25a-50a+c=-2

，
解得

a= 2 5 c=8

．
∴抛物线的函数表达式为y=

2

5

x²-4x+8；
∵A（-6，0），C（0，8），
∴AC=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴点D的坐标是（10，8）；
由题意可P在抛物线y=

2

5

x²-4x+8上，且到BD，CD所在直线距离相等，
所以P在二次函数与BD、CD所在的直线的夹角平分线的交点上，
而BD、CD所在的直线的夹角平分线有两条：一条是AD所在的直线，解析式为y=

1

2

x+3，
另外一条是过D且与BC平行的直线，解析式为：y=-2x+28，
联立

y= 2 5 x2-4x+8 y= 1 2 x+3

，
解得：

x=10 y=15

（舍）或

x= 5 4 y= 29 8

，
联立

y= 2 5 x2-4x+8 y=-2x+28

，
解得：

x=10 y=8

（舍）或

x=-5 y=38

所以当△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．
故答案为：y=

2

5

x²-4x+8；P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用．