Question

5．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），…都是“梦之点”．是否存在实数b，使二次函数y=x²+bx-3的图象上有两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足|x₁|≤3，|x₁-x₂|=4？若存在请求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先将A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=x²+bx-3得到x₁²+（b-1）x₁-3=0，x₂²+（b-1）x₂+1=0，根据方程的解的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x-3=0的两个根，由根与系数的关系可得x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=-3，则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，整理得出b²-2b-3=0，解方程得出b的值．

解答 解：∵二次函数y=x²+bx-3的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=x₁²+bx₁-3，x₂=ax₂²+bx₂-3，
∴ax₁²+（b-1）x₁-3=0，ax₂²+（b-1）x₂-3=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x-3=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=-3，
∵|x₁-x₂|=4
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（1-b）²-4×（-3）=16，
∴b²-2b-3=0，
∴b₁=3，b₂=-1．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程根与系数的关系，图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．