Question

试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．

Answer 1

分析：我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连接起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．
利用：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：
（1）几何问题代数化；（2）利用图形图表解代数问题；（3）构造函数，借用函数图象探讨方程的解．

解答：解：考虑其中一个点，设为A，从A点连出的5条线段染了两种颜色，则必有三条线段同色，设AB．AC、AD同为红色，若BC，CD，BD三线段中有一条红色，则必出现三边都是红色的三角形，若BC、CD、BD三条线段中没有一条红色，则这条三线段均为蓝色，这时△BCD就是一个三边都是蓝色的三角形，因而必出现三边都是同色的三角形．
∴世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．

点评：此题主要考查了染色问题，利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程（组），再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．