如图.在平面直角坐标系中.O是坐标原点.直线y=-$\frac{3}{4}$x+9与x轴.y轴分别交于B.C两点.抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c经过B.C两点.与x轴的另一个交点为点A.动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动.运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式及点A的坐标,(2)在点P从点A出发的同时.动点Q从点B出发沿BC以每秒3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=-$\frac{3}{4}$x+9与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒$\frac{3\sqrt{10}}{5}$个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．
①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？
②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标．
（2）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15-3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=-$\frac{b}{2a}$时对应的S的值即可求出此时的最大值．
②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．

解答解：（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+9
中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．
∴C（0，9），B（12，0）．
又抛物线经过B，C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=9}\\{-36+12b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+9．
令y=0，得-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+9=0，
解得x₁=-3，x₂=12．
∴A（-3，0）；

（2））①如图1，过点Q作QD⊥OB于点D．
∵OC⊥OB，
∴QD∥OC．
∴△BQD∽△BCO．
∴$\frac{QD}{OC}=\frac{BQ}{BC}$．
又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，
∴$\frac{QD}{9}=\frac{3t}{15}$，解得QD=$\frac{9}{5}$t．
∴S=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•QD=-$\frac{27}{10}$t²+$\frac{27}{2}$t=-$\frac{27}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{135}{8}$．
故当t=$\frac{5}{2}$时，S最大，最大值为$\frac{135}{8}$．

②存在△NCQ为直角三角形的情形．
∵BC=BA=15，
∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO．
∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，
只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况．（如图2）
Ⅰ、当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，
∴△NCQ∽△CAO．
∴$\frac{NC}{CA}=\frac{CQ}{AO}$．
∴$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}t}{\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}}=\frac{15-3t}{3}$，
解得t=$\frac{25}{6}$．
Ⅱ、当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，
∴△QCN∽△CAO．
∴$\frac{CQ}{AC}=\frac{NC}{OA}$．
∴$\frac{15-3t}{\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}}{3}$，
解得t=$\frac{5}{3}$．
综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为$\frac{25}{6}$和$\frac{5}{3}$．

点评此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解（2）①的关键是判断出△BQD∽△BCO，解（2）②的关键是分类用相似得出的比例式建立方程，是一道中等难度的中考常考题．

	A．	$\frac{500}{x}$+$\frac{45}{x+10}$=24		B．	$\frac{0.5}{x}$+$\frac{4.5}{x+10}$=$\frac{24}{60}$
	C．	$\frac{500}{x-10}$+$\frac{4500}{x}$=24		D．	$\frac{0.5}{x-10}$+$\frac{4.5}{x}$=$\frac{24}{60}$

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