Question

12．在△ABC中，AB=20，sinB=$\frac{1}{5}$．
（1）若AC=4$\sqrt{3}$，求BC的长．
（2）若AC=24，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由于AB•sinB＜AC＜AB，那么∠ACB可能是锐角，也可能是钝角，分两种情况讨论即可；
（2）由AC＞AB，可得∠B＞∠C，而∠B是锐角，那么∠C只能是锐角．作AD⊥BC于D，解直角△ABD，得AD=AB•sinB=4，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8$\sqrt{6}$．
解直角△ACD，得CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{35}$，根据BC=BD+CD即可求解．

解答 解：（1）如图，作AD⊥BC于D．
在直角△ABD中，∵AB=20，sinB=$\frac{1}{5}$，
∴AD=AB•sinB=20×$\frac{1}{5}$=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{6}$．
在直角△ACD中，∵AC=4$\sqrt{3}$，AD=4，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴BC=BD+CD=8$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$，或BC=BD-CD=8$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$；

（2）如图，作AD⊥BC于D．
在直角△ABD中，∵AB=20，sinB=$\frac{1}{5}$，
∴AD=AB•sinB=20×$\frac{1}{5}$=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{6}$．
在直角△ACD中，∵AC=24，AD=4，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{35}$，
∴BC=BD+CD=8$\sqrt{6}$+4$\sqrt{35}$．

点评 本题考查了解斜三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，当已知边边角的条件时，判断符合条件的三角形有两解还是一解是解题的关键．