Question

16．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a²-b²，（a+b）（a-b）；
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a²-b²=（a+b）（a-b）；
（3）试利用这个公式计算：
①（2m+n-p）（2m-n+p）      
②$\frac{10{0}^{2}}{25{2}^{2}-24{8}^{2}}$
③（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

Answer 1

分析 （1）分别根据面积公式进行计算；
（2）根据图1的面积=图2的面积列式；
（3）①把后两项看成一个整体，利用平方差公式进行计算；
②把分母利用平方差公式分解因式，再计算并约分得5；
③添一项2-1后，与第一个括号里的数组成平方差公式，依次这样计算可得结果．

解答 解：（1）原阴影面积=a²-b²，拼剪后的阴影面积=（a+b）（a-b），
故答案为：a²-b²，（a+b）（a-b）；
（2）验证的公式为：a²-b²=（a+b）（a-b）；
故答案为：a²-b²=（a+b）（a-b）；
（3）①（2m+n-p）（2m-n+p），
=[2m+（n-p）][2m-（n-p）]，
=（2m）²-（n-p）²，
=4m²-n²+2np-p²；
②$\frac{10{0}^{2}}{25{2}^{2}-24{8}^{2}}$=$\frac{10{0}^{2}}{（252+248）（252-248）}$=$\frac{10{0}^{2}}{500×4}$=$\frac{10000}{500×4}$=5；
③（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2³²-1）（2³²+1）+1，
=2⁶⁴-1+1，
=2⁶⁴．

点评 本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式进行计算，因此，本题熟练掌握平方差公式是关键．