Question

18．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4$\sqrt{3}$，则S_阴影=$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 根据垂径定理求得CE=ED=2$\sqrt{3}$，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形ODB-S_△DOE+S_△BEC．

解答 解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2$\sqrt{3}$，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，OD=2OE=4，
∴S_阴影=S_扇形ODB-S_△DOE+S_△BEC=$\frac{60π×O{D}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$OE×DE+$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案为$\frac{8π}{3}$．

点评 此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．