Question

如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米。
（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²。
①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=时x的值；
②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

Answer 1

解：（1）∵AB=CD=x米， ∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米；
（2）①如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， 在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°， ∴AE=x，BE=x， 同理DF=x，CF=x 又EF=BC=40-2x ∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x， ∴S=（40-2x+40-x）·x=x（80-3x）=（0＜x＜20） 当S=时， 解得：x1=6，x2=（舍去） ∴x=6 ②由题意，得40-x≤24，解得x≥16，结合①得16≤x＜20 由①，S== ∵a=＜0 ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）， 其对称轴为x=， ∵16＞，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小， ∴当x=16时，S取得最大值， 此时S最大值=。