题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=4，AB=6，AD=14，在AD上能否找到一点P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PD的长．若不能，说明理由．考点：相似三角形的判定与性质
专题：分类讨论
分析：只有相似没有对应，故可分两种情况，即△PAB∽△PDC和△PAB∽CDP，再利用对应边成比例分别计算PD的长即可．
解答：解：∵AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠D=∠A，
∴有△PAB∽△PDC和△PAB∽CDP两种情况，
当△PAB∽△PDC时，则
=
，即
=
=
，且PA+PD=AB=14，
∴PA=8.4，PD=5.6；
当△PAB∽△CDP时，则
=
，即
=
，可得PA•PD=24，且PA+PD=14，
可知PA、PD是方程x2-14x+24=0的两根，解得PD=2，PA=12或PD=12，PA=2，
综上可知，满足条件的点P有三个，相应的PD分别为5.6或2或12．
∴∠D=∠A，
∴有△PAB∽△PDC和△PAB∽CDP两种情况，
当△PAB∽△PDC时，则
| PA |
| PD |
| AB |
| CD |
| PA |
| PD |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴PA=8.4，PD=5.6；
当△PAB∽△CDP时，则
| PA |
| CD |
| AB |
| PD |
| PA |
| 4 |
| 6 |
| PD |
可知PA、PD是方程x2-14x+24=0的两根，解得PD=2，PA=12或PD=12，PA=2，
综上可知，满足条件的点P有三个，相应的PD分别为5.6或2或12．
点评：本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意方程思想和分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
下列等式正确的是（ ）
A、3
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）| A、2cm | B、2.5cm |
| C、3cm | D、3.5cm |
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，求证：①△ADE≌△CBF；②∠A=∠C．