Question

16．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=10．

Answer 1

分析 先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12-x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．

解答 解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，
∴12-x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12-2=10．
故答案为：10．

点评 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．