题目内容
在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1．
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1．
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质
专题：综合题
分析：（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；
②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°所以AC1⊥BD1；
（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=
AC，OD=OB=
BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OA，OD1=OB，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，加上
=
，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1=∠OBD1，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到
=
=
=
，所以k=
；
（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则
=
=
=
，所以k=
；根据旋转的性质得OD1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25．
②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°所以AC1⊥BD1；
（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| OC1 |
| OD1 |
| OA |
| OB |
| AC1 |
| BD1 |
| OA |
| OB |
| AC |
| BD |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
| 7 |
（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则
| AC1 |
| BD1 |
| OA |
| OB |
| AC |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：（1）①证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，
在△AOC1和△BOD1中
，
∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；
②AC1⊥BD1；
（2）AC1⊥BD1．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=
AC，OD=OB=
BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，
∴
=
，
∴△AOC1∽△BOD1，
∴∠OAC1=∠OBD1，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，
∴∠APB=90°
∴AC1⊥BD1；
∵△AOC1∽△BOD1，
∴
=
=
=
=
，
∴k=
；
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，
∴
=
=
=
，
∴k=
；
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OD1=OD，
而OD=OB，
∴OD1=OB=OD，
∴△BDD1为直角三角形，
在Rt△BDD1中，
BD12+DD12=BD2=100，
∴（2AC1）2+DD12=100，
∴AC12+（kDD1）2=25．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，
在△AOC1和△BOD1中
|
∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；
②AC1⊥BD1；
（2）AC1⊥BD1．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，
∴
| OC1 |
| OD1 |
| OA |
| OB |
∴△AOC1∽△BOD1，
∴∠OAC1=∠OBD1，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，
∴∠APB=90°
∴AC1⊥BD1；
∵△AOC1∽△BOD1，
∴
| AC1 |
| BD1 |
| OA |
| OB |
| ||
|
| AC |
| BD |
| 5 |
| 7 |
∴k=
| 5 |
| 7 |
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，
∴
| AC1 |
| BD1 |
| OA |
| OB |
| AC |
| BD |
| 1 |
| 2 |
∴k=
| 1 |
| 2 |
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OD1=OD，
而OD=OB，
∴OD1=OB=OD，
∴△BDD1为直角三角形，
在Rt△BDD1中，
BD12+DD12=BD2=100，
∴（2AC1）2+DD12=100，
∴AC12+（kDD1）2=25．
点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质、旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质．
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