Question

如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　 　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　 　．

（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．

 

 

Answer 1

（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4．

（2）P的对称轴为x=﹣．

（3）点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．

（4）l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；P：y=﹣x2﹣x+8．

【解析】

试题分析：（1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；

（2）根据已知求得抛物线与x轴交点的坐标，从而求得对称轴；

（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；

（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．

试题解析：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，

∴D（﹣2，0）．

设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：

，解得，

∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；

若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．

∴B（0，4）．

设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：

，解得，

∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．

（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），

令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．

∴A（﹣，0）、B（0，n），

∴D（﹣n，0）．

设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），

∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），

∴2x=﹣n﹣，

∴P的对称轴为x=﹣．

（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），

∴C（0，2）、D（﹣4，0）．

可求得直线CD的解析式为：y=x+2．

由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．

∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，

∴FQ∥CE，且FQ=CE．

设直线FQ的解析式为：y=x+b．

∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．

则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，

解得xF=0或xF=﹣2．

∵点F在直线l：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．

若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=，∴Q1（﹣1，）；

若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=，∴Q2（﹣1，）．

∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．

（4）如答图2所示，连接OG、OH．

∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．

由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，

∴△OGH为等腰直角三角形．

∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，

∴OG=OM=•=2，

∴AB=2OG=4．

∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，

解得：m=﹣2或m=2，

∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．

∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；

∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．

考点：1、二次函数的图象与性质；2、待定系数法；3、旋转变换；4、平行四边形