Question

如果直线l与直线y=-

4

3

x-

15

2

平行，与x轴交于点A，且经过点B（0，3），
（1）求点A的坐标及直线l的函数解析式；
（2）若△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形，且点在坐标轴上．请直接写出点C的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）设直线l的函数解析式为y=kx+b，利用两直线平行的问题得到k=-

4

3

，再把B（0，3）代入y=-

4

3

x+b求出b即可得到直线l的函数解析式为y=-

4

3

x+3，然后计算当y=0时的自变量的值即可得到A点坐标；
（2）先利用勾股定理计算出AB=

15

4

，然后分类讨论：①当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于C₁，交x轴于C₂，如图，设OC₁=t，则BC₁=3-t，利用BC₁=AC₁得t²+（

9

4

）²=（3-t）²，求出t即可得到C₁（0，

21

32

），用同样的方法可得C₂（-

7

8

，0）；②当AC=AB时，以A为圆心，AB为半径作圆，交坐标轴得到点C₃、C₄，C₅，如图，根据坐标轴上点的坐标特征和对称性易得C₃（6，0），C₄（0，-3），C₅（-

3

2

，0）；③当BC=BA时，以B为圆心，BA为半径作圆，交坐标轴得到点C₆、C₇，C₈，如图，根据坐标轴上点的坐标特征和对称性易得C₆（-

9

4

，0），C₇（0，-

3

4

），C₈（0，

27

4

）．

解答：解：（1）设直线l的函数解析式为y=kx+b，
∵直线l与直线y=-

4

3

x-

15

2

平行，
∴k=-

4

3

，
把B（0，3）代入y=-

4

3

x+b得b=3，
∴直线l的函数解析式为y=-

4

3

x+3，
当y=0时，-

4

3

x+3=0，解得x=

9

4

，
∴A点坐标为（

9

4

，0）；
（2）AB=

( 9 4 )2+32

=

15

4

，
①当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于C₁，交x轴于C₂，如图，
设OC₁=t，则BC₁=3-t，
∵BC₁=AC₁，
∴t²+（

9

4

）²=（3-t）²，解得t=

21

32

，
∴C₁（0，

21

32

），
同理可得C₂（-

7

8

，0）；
②当AC=AB时，如图，C₃（6，0），C₄（0，-3），C₅（-

3

2

，0）；
③当BC=BA时，如图，C₆（-

9

4

，0），C₇（0，-

3

4

），C₈（0，

27

4

），
综上所述，满足条件的C点坐标为（0，

21

32

）、（-

7

8

，0）、（6，0）、（0，-3）、（-

3

2

，0）、（-

9

4

，0）、（0，-

3

4

）、（0，

27

4

）．

点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．