Question

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BOC=2∠BAD，则⊙O的直径为10．

Answer 1

分析 首先根据∠BOC=2∠BAD，判断出$\widehat{CB}=\widehat{BD}$，进而判断出CE=DE，OE⊥CD；然后在直角三角形ODE中，利用勾股定理，求出OD的长度是多少，再用OD的长度乘以2，求出⊙O的直径为多少即可．

解答 解：如图，连接OD，
∵∠BOC=2∠BAD，
∴$\widehat{CB}=\widehat{BD}$，
∴CE=DE=8÷2=4，
又∵OC=OD，
∴OE⊥CD；
设OD=x，则OE=AE-AO=8-x，
在直角三角形ODE中，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（8-x）²+4²=x²，
∴x²-16x+80=x²，
∴80-16x=0，
解得x=5，
∴⊙O的直径为：5×2=10．
故答案为：10．

点评 （1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了直角三角形的性质的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．