Question

在关于x的一元二次方程a(1－x²)－2bx＋c(1＋x²)＝0中，a、b、c是Rt△ABC的三条边，∠C＝．

(1)求证：此方程必有两个不相等的实数根；

(2)如果这个方程的两根为x₁、x₂，且＋＝12，求a∶b∶c．

Answer 1

答案：
解析：

原方程整理得：(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0， 　　(1)Δ＝8b2＋4(a＋c)(a－c)＝8b2－4(c2－a2)．∵b2＋a2＝c2，∴Δ＝4b2． 　　又∵b＞0，∴Δ＞0，即方程必有两个不相等的实数根． 　　(2)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×＝－2×＝＝12． 　　∴b2＝2(c－a)2＝2(c2＋a2－2ac)＝2c2＋2a2－4ac． 　　又∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝2c2＋2a2－4ac，∴c＝3a或c＝a(舍去)，∴9a2－a2＝b2，∴b＝2a，∴a∶b∶c＝1∶2∶3．