Question

3．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边AB上，且BE=2AE．将△ADE沿ED对折至△FDE，延长EF交边BC于点G，连结DG，BF．下列结论：①△DCG≌△DFG；②BG=GC；③DG∥BF；④S_△BFG=3．其中正确的结论是①②③（填写序号）

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AD=CD，∠A=∠C=90°，根据折叠的性质得到DF=AD，∠DFE=∠A=90°，根据全等三角形的判定得到△DCG≌△DFG，故①正确；设CG=x，则BG=6-x，根据勾股定理得到BG=CG；故②正确；根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠FGD=∠BFG，由平行线的判定得到DG∥BF，故③正确；由$\frac{{S}_{△BFG}}{{S}_{△BEG}}$=$\frac{FG}{GE}$=$\frac{3}{5}$，由于S_△GBE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，于是得到S_△BFG=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$，④错误．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
∵△ADE沿ED对折至△FDE，
∴DF=AD，∠DFE=∠A=90°，
∴∠GFD=∠C=90°，
在Rt△DCG与Rt△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=CD}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△DFG，故①正确；
∴CG=CF，
设CG=x，则BG=6-x，
∵BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，
∴EG=x+2，
∵BG²+BE²=EG²，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，
∴x=3，
∴BG=CG；故②正确；
∵BG=GF，
∴∠GBF=∠GFB，
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB，
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD，
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD，
∵∠CGD=∠FGD，∠GBF=∠GFB，
∴∠FGD=∠BFG，
∴DG∥BF，故③正确；
∵△BFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴$\frac{{S}_{△BFG}}{{S}_{△BEG}}$=$\frac{FG}{GE}$=$\frac{3}{5}$，
∵S_△GBE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△BFG=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$，
∴④错误；
正确的结论有3个，
故答案为：①②③．

点评 本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．