Question

（本题满分8分）如图①，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图②，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

 

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；

（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．

试题解析：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠EAB=∠EAC，AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AF，∴∠AFB=∠CFB=90°．∵∠BAC=45°，∴∠ABF=45°，∴∠ABF=∠BAC，∴AF=BF．

∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∵∠EAF=∠CBF，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∴△AEF≌△BCF（ASA），

∴EF=CF．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．