Question

18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30°
（1）求∠ADC的度数；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，理由∠B的余弦可求出∠B=60°，然后根据圆周角定理得到∠ADC=60°；
（2）由于OE⊥AC，根据垂径定理得到AE=CE，则OE为△ABC的中位线，所以OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，BC=3，
∴cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
∴∠ADC=60°；
（2）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∵AB=6，∠CAB=30°，
∴BC=3
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和锐角三角函数．