Question

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，点P从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度移动（当点P到达点A时，点P与点Q同时停止移动），假设点P移动的时间为x（秒），四边形ABQP的面积为y（cm²）．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在移动的过程中，若四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等，求此时的x值；
（3）在移动的过程中，是否存在x使得PQ=AB？若存在求出所有x的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出梯形的高，根据梯形的面积公式写出y关于x的函数解析式和定义域；
（2）四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时，四边形ABQP的面积=四边形ABCD的面积的一半列出算式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和等腰梯形的性质解答即可．

解答 解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC与F，
∵AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，
∴BQ=CF=3，
由勾股定理得，AE=4，
则y=$\frac{1}{2}$×（5-x+2x）×4=2x+10，（0≤x≤5）；
（2）四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时，
四边形ABQP的面积=四边形ABCD的面积的一半，
即2x+10=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（5+11）×4，
解得，x=3；
（3）如图2，当四边形ABQP为平行四边形时，PQ=AB，
即AP=BQ，此时，5-x=2x，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
如图3，当四边形ABQP为等腰梯形时，PQ=AB，
此时四边形PQCD是平行四边形，
x=11-2x，
解得，x=$\frac{11}{3}$，
∴当x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{11}{3}$时，PQ=AB．

点评 本题考查的是等腰梯形的性质和平行四边形的性质，灵活运用数形结合思想和函数思想是解题的关键，注意分类讨论思想的运用和梯形面积公式的运用．