Question

（2012•十堰）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为

（3π-

9 3

4

）

cm²．

Answer 1

分析：易证∠BCE=∠ACD，则根据弦切角定理可以得到

AD

与弦AD围成的弓形的面积等于

CF

与弦CF围成的弓形的面积相等，则阴影部分的面积等于半圆的面积减去直角△ACD的面积，再减去弓形的面积，据此即可求解．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=

1

2

AB=6cm，∠A=60°
∵E是AB的中点，
∴CE=

1

2

AB，
则△ACE是等边三角形．
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∵AC是直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴

CF

=

AD

，
连接OD，作OG⊥CD于点G，
则∠COD=120°，OG=

1

2

OC=

3

2

，CG=

1

2

CD=

3 3

2

．
∴阴影部分的面积为：S_扇形COD-S_△COD=

120π×32

360

-

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=3π-

9 3

4

．
故答案是：3π-

9 3

4

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，以及圆的面积的计算，正确理解：

AD

与弦AD围成的弓形的面积等于

CF

与弦CF围成的弓形的面积相等是关键．