题目内容

Rt△ABC中直角边AC=6，BC=8，设P，Q分别为AB，BC上动点，P自A沿AB方向向B做每秒2cm的运动，同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，且速度均为1cm/s，当一个点到达终点时，另一个点就停止运动，设移动时间为t秒． 
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围；
（2）当t为何值时△PBQ为等腰三角形；
（3）△PBQ能否与Rt△ABC相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）过点P作PH⊥BC，垂足为H，从而得到△BPH∽△ABC，根据相似比例求出PH的长，可以得到用t表示面积的函数解析式；
（2）分三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分别求t的值；
（3）分△PBQ∽△ABC与△PBQ∽△CBA两种情况进行讨论即可．
解答：（1）解：∵Rt△ABC中直角边AC=6，BC=8，
∴AB=
62+82
=10，
∴BP=10-2t，BQ=t．
如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，
∵AC⊥BC，
∴△BPH∽△ABC，
∴
AC
PH
=
AB
BP
，即
6
PH
=
10
10-2t
，解得PH=6-
6
5
t，
∴S=
1
2
BQ•PH=
1
2
t•（6-
6
5
t）=-
3
5
t2+3t（0＜t≤5）；

（2）解：①当BP=BQ时，10-2t=t，解得t=
10
3
秒；
②如图2，当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
∵BQ=PQ，QE⊥BD，
∴BE
5-t
8
=
1
2
BP=
1
2
（10-2t）=5-t，
∵∠B=∠B，∠ACB=∠QEB=90°，
∴△BQE∽△BAC，
∴
BQ
AB
=
BE
BC
，即
t
10
=
5-t
8
，解得t=
25
9
秒；
③如图3，当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
∵BP=PQ，PF⊥BC，
∴BF=
1
2
BQ=
1
2
t．
∵∠B=∠B，∠PFB=∠C=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴
BP
AB
=
BF
BC
，即
10-2t
10
=
t
2
8
，解得t=
80
21
秒．
∴当t=
10
3
秒，t=
25
9
秒，t=
80
21
秒时，均使△PBQ为等腰三角形；

（3）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，
BQ
BC
=
BP
AB
，即
t
8
=
10-2t
10
，解得t=
40
13
（秒）；
当△PBQ∽△CBA时，
BQ
AB
=
BP
BC
，即
t
10
=
10-2t
8
，解得t=
25
7
（秒）．
点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，此类问题是近几年中考中较常见的题目，在解答时要注意进行分类讨论，不要漏解．
练习册系列答案
相关题目
如图，△ABC中，AB=AC，∠B=45°，M是BC延长线上一点，△AMN∽△ABC，MN交AC延长线于点P，连接CN．
（1）请尽可能多找出图中的相似三角形（题中给出的除外）；
（2）你能找到CM、CN与CA的数量关系吗？并说明理由．
已知函数y=
1
2
x2-2．
（1）画出该函数的图象；
（2）设该函数图象的顶点为P，与x轴的两交点分别为A、B．求△ABP的面积．
求所有的三元数组（m，n，p），使其满足pn+144=m2，其中m，n是正整数，p是质数．
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：
AB
AE
=
AC
AD
；
（2）如果AB⊥AC，AE：EC=1：2，求证：AC=BD．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD交于点E，AD=2CF，那么△DEG与△CFG的面积比是
 
．
如图直角坐标系中，矩形ABCO，边AO、CO在坐标轴上，点B的坐标是（3，4），☉O半径为2．
（1）连接AC，判断AC的中点与☉O的位置关系；
（2）若将矩形ABCO沿着过A点的直线翻折，使得AB边所在直线翻折后能与☉O相切，求折痕的函数关系式．
抛物线y=mx2+（2m+1）x+m+1的图象与x轴的交点的个数为（　　）
A、2B、1C、0D、0，1或2
若a=3，b=25，求a2013+b2014的末位数是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网