题目内容
如图，直线l：
交x轴、y轴于A、B点，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD=12．（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）若直线l沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位长度，与BC、AD分别交于E、F点，当四边形ABEF的面积为24时，求直线EF的表达式以及点F到腰CD的距离；
（3）若B点沿BC方向，从B到C运动，速度为每秒1个单位长度，A点同时沿AD方向，从A到D运动，速度为每秒2个单位长度，经过t秒后，A到达P处，B到达Q处，问：是否存在t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）分别令x=0，y=0求出A、B的坐标．又因为线段BC平行与x轴，易求点C的坐标．
（2）本题有多种证法．证明四边形ABEF为平行四边形求出m的值．设直线EF的解析式为y=
x+b．利用勾股定理以及三角函数值求出有关线段的长．然后利用辅助线的帮助求出点F到腰CD的距离．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．过点Q作QK⊥AD于K，根据勾股定理求出PQ，DQ的值．然后分情况讨论t的值．（∠QDP≤∠CDP；∠DPQ=90°；∠PQD=90°）
解答：解：（1）令x=0，则y=4；y=0，则x=-3．
∴A（-3，0），B（0，4），C（6，4）．
（2）∵BC∥AD，EF∥AB，
∴四边形ABEF为平行四边形．
∴SABEF=AF×OB=4m，又SABEF=24，
∴m=6．
∴F（3，0）．
设直线EF的表达式为
，
则
，b=-4，
∴直线EF的表达式为
．
过点C作CG⊥AD于G．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，
．
过点F作FH⊥CD于H．
在Rt△FHD中，FD=AD-AF=12-6=6
=sin∠HDF，即
，
∴
．
即点F到腰CD的距离为
．
证法二：利用相似可以求得．
过点C作CG⊥AD于G，过点F作FH⊥CD于H．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，
，
在Rt△FHD中，FD=AD-AF=12-6=6．
由Rt△CGD∽Rt△FHD得
即
，∴
，即点F到腰CD的距离为
．
（3）过点Q作QK⊥AD于K，依题意，得
BQ=t，AP=2t，PD=12-t，PK=|t-3|，DK=9-t，0≤t＜6．
于是PQ2=42+（t-3）2=t2-6t+25；
DQ2=42+（9-t）2=t2-18t+97PD2=（12-2t）2=4t2-48t+144．
①∵∠QDP≤∠CDP，
∴∠QDP不可能为直角．
②若∠DPQ=90°，则PQ2+PD2=DQ2，t2-6t+25+4t2-48t+144=t2-18t+97．
整理得t2-9t+18=0．
解得t=3或t=6（舍去）．
③若∠PQD=90°，则PQ2+DQ2=PD2，t2-6t+25+t2-18t+97=4t2-48t+144．
整理得t2-12t+11=0，解得t=1或t=11（舍去）．
综上所述，当t=3或t=1时，△PQD为直角三角形．
点评：本题考查的是分段函数的有关知识，一次函数的综合利用以及勾股定理的应用，难度较大．
（2）本题有多种证法．证明四边形ABEF为平行四边形求出m的值．设直线EF的解析式为y=
x+b．利用勾股定理以及三角函数值求出有关线段的长．然后利用辅助线的帮助求出点F到腰CD的距离．（3）本题要依靠辅助线的帮助．过点Q作QK⊥AD于K，根据勾股定理求出PQ，DQ的值．然后分情况讨论t的值．（∠QDP≤∠CDP；∠DPQ=90°；∠PQD=90°）
解答：解：（1）令x=0，则y=4；y=0，则x=-3．
∴A（-3，0），B（0，4），C（6，4）．
（2）∵BC∥AD，EF∥AB，
∴四边形ABEF为平行四边形．
∴SABEF=AF×OB=4m，又SABEF=24，
∴m=6．
∴F（3，0）．
设直线EF的表达式为
，则
，b=-4，∴直线EF的表达式为
．过点C作CG⊥AD于G．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，
．过点F作FH⊥CD于H．
在Rt△FHD中，FD=AD-AF=12-6=6
=sin∠HDF，即，∴
．即点F到腰CD的距离为
．证法二：利用相似可以求得．
过点C作CG⊥AD于G，过点F作FH⊥CD于H．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，
，在Rt△FHD中，FD=AD-AF=12-6=6．
由Rt△CGD∽Rt△FHD得
即
，∴，即点F到腰CD的距离为．（3）过点Q作QK⊥AD于K，依题意，得
BQ=t，AP=2t，PD=12-t，PK=|t-3|，DK=9-t，0≤t＜6．
于是PQ2=42+（t-3）2=t2-6t+25；
DQ2=42+（9-t）2=t2-18t+97PD2=（12-2t）2=4t2-48t+144．
①∵∠QDP≤∠CDP，
∴∠QDP不可能为直角．
②若∠DPQ=90°，则PQ2+PD2=DQ2，t2-6t+25+4t2-48t+144=t2-18t+97．
整理得t2-9t+18=0．
解得t=3或t=6（舍去）．
③若∠PQD=90°，则PQ2+DQ2=PD2，t2-6t+25+t2-18t+97=4t2-48t+144．
整理得t2-12t+11=0，解得t=1或t=11（舍去）．
综上所述，当t=3或t=1时，△PQD为直角三角形．
点评：本题考查的是分段函数的有关知识，一次函数的综合利用以及勾股定理的应用，难度较大．
练习册系列答案
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