如图.抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A.B两点.y与轴交于点C.抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A．(1)求抛物线的解析式,(2)在抛物线的对称轴上是否存在P点.使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在.直接写出点P的坐标,如果不存在.请说明理由,(3)点E是线段BC上的一个动点.过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F.当点E运动到什么位置时.四边形CDBF的面积最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，可得CD=PD，PC=PD，根据两点间的距离，勾股定理，可得答案；
（3）根据图形割补法，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案．

解答解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$
抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
（2）如图
由勾股定理，CD=$\sqrt{10}$，
CD=PD=$\sqrt{10}$，
P₁（1，$\sqrt{10}$），P₂（1，-$\sqrt{10}$），
PC=PD时，设P（1，b），
1+（b-3）²=b²，
解得b=6
P₃（1，$\frac{5}{3}$），
综上所述：P₁（1，$\sqrt{10}$），P₂（1，-$\sqrt{10}$），P₃（1，$\frac{5}{3}$）；
（3）当y=0时，x₁=-1，x₂=3，即B（3，0），C（0，3）．
BC的解析式为y=-x+3，设E点横坐标为t，y=-t+3，即E（t，-t+3），F（t，-t²+2t+3）
EF=（-t²+2t+3）-（-t+3）=-t²+3t，
S_△CDB=$\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
S_△CBF=S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•t+$\frac{1}{2}$EF（3-t）=$\frac{3}{2}$EF=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，
S_{四边形CDBF}=S_△CDB+S_△CBF=-$\frac{3}{2}$²+$\frac{9}{2}$t+3=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{51}{8}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形CDBF最大}=$\frac{51}{8}$，
y=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$
E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．