Question

已知△ABC中，∠B是锐角．从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D；从顶点C向AB边或其延长线作垂线，垂足为E．当

2BD

BC

和

2BE

AB

均为正整数时，△ABC是什么三角形？并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：首先设

2BD

BC

=m，

2BE

AB

=n，m，n均为正整数，则可得mn=4•

BD

AB

•

BE

BC

=4cos2B＜4，继而可得mn=1，2，3．然后分别分析求解即可求得答案．

解答：答：△ABC是等边三角形，等腰直角三角形，顶角为120°的等腰三角形．
证明：设

2BD

BC

=m，

2BE

AB

=n，m，n均为正整数，则mn=4•

BD

AB

•

BE

BC

=4cos2B＜4，
∴mn=1，2，3．
（1）当mn=1时，cosB=

1

2

，
∴∠B=60°，此时m=n=1．
∴AD垂直平分BC，CE垂直平分AB，
∴△ABC是等边三角形．
（2）当mn=2时，cosB=

2

2

，
∴∠B=45°，此时m=1，n=2，或m=2，n=1，
∴点E与点A重合，或点D与点C重合．
∴∠BAC=90°，或∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（3）mn=3时，cosB=

3

2

，
∴∠B=30°，此时m=1，n=3，或m=3，n=1．
∴AD垂直平分BC，或CE垂直平分AB．
∴∠ACB=30°，或∠BAC=30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

点评：此题考查了三角形的边角关系以及特殊角的三角函数值．此题难度较大，注意设

2BD

BC

=m，

2BE

AB

=n，m，n均为正整数，则mn=4•

BD

AB

•

BE

BC

=4cos2B＜4，得到mn=1，2，3是解此题的关键．