Question

13．如图△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AB于点M．
（1）若CD=5，求AC的长．
（2）求证：AB=AC+CD．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质可得到CD=DM，由等腰直角三角形可得BM=DM，在Rt△BDM中，由勾股定理可求得BD，可求得BC，则可求得AC；
（2）由条件可证明△ACD≌△AMD，可得到AM=AC，结合（1）中CD=BM，可证得结论．

解答 （1）解：
∵∠ACB=90°，DM⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD=DM=5，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠MDB=∠B=45°，
∴BM=DM=5，
在Rt△BDM中，由勾股定理可得BD=5$\sqrt{2}$，
∴BC=5+5$\sqrt{2}$，
∴AC=5+5$\sqrt{2}$；
（2）证明：
在△ACD和△AMD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AMD}\\{∠CAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△AMD（AAS），
∴AC=AM，
又由（1）可知CD=MB，
∴AB=AM+MB=AC+CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．