Question

1．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
②$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：$\frac{1}{5+\sqrt{23}}$
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{3\sqrt{11}+\sqrt{101}}$．

Answer 1

分析 （1）根据观察，可发现规律；$\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{2}$，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．

解答 解：（1）原式=$\frac{5-\sqrt{23}}{（5+\sqrt{23}）（5-\sqrt{23}）}$=$\frac{5-\sqrt{23}}{2}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{（1+\sqrt{3}）（\sqrt{3}-1）}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）}$+…+$\frac{\sqrt{101}-3\sqrt{11}}{（\sqrt{101}+3\sqrt{11}）（\sqrt{101}-3\sqrt{11}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{101}$-1）．

点评 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键．