Question

17．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠A'OC'=90°，推出∠A'OB=∠COC'，证出△OBM≌△OCN．

解答 解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的$\frac{1}{4}$．
理由如下：

∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠A'OC'=90°，
∴∠A'OB=∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠OCB}\\{OB=OC}\\{∠BOM=∠NOC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．