Question

2．证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（2）），“凑”到三角形外一点呢？（如图（3）），你还能想出其他证法呢？

Answer 1

分析 如图1，把三个内角“凑”到BC边上的一点P，通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图2，可以把角“凑”到三角形的内部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图3，可以把角“凑”到三角形的外部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；还可以过△ABC某一顶点作对边的平行线进行证明．

解答 解：（1）可以，如图1，过BC上任一点P，作PQ∥AC，交AB于Q，作PR∥AB交AC于R，
则∠A=∠BQP=∠QPR，∠B=∠RPC，∠C=∠BPQ，
由∠BPQ+∠QPR+∠CPR=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°；

（2）可以，如图2，过△ABC内任一点P作QR∥BC，作MN∥AB，作ST∥AC，
则∠A=∠QSP=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR，∠C=∠NRP=∠QPS，
由∠SPQ+∠SPN+∠NPR=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°；

（3）可以，如图3，过三角形外一点P分别作三角形三边的平行线，
则∠A=∠PTD=∠SPN，∠B=∠TDP=∠NPR，∠C=∠AED=∠QPS，
由∠SPQ+∠SPN+∠NPR=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°；
（4）如图4，过△ABC的顶点C作CE∥AB，延长BC至D，
则∠1=∠B，∠2=∠A，
由∠ACB+∠1+∠2=180°，可得∠A+∠B+∠ACB=180°．

点评 本题考查的是平行线的性质以及平角定义的运用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．