Question

2．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为27$\sqrt{3}$，则⊙O的半径为6．

Answer 1

分析 过点A作AG⊥BF于点G，由正六边形的性质可得出∠BAF的度数，故可得出∠ABG的度数，设AB=r，根据特殊角的三角函数值得出AG与BG的长，再由图中阴影部分的面积为27$\sqrt{3}$即可得出结论．

解答 解：过点A作AG⊥BF于点G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=120°，AB等于⊙O的半径，
∴∠ABG=$\frac{180°-120°}{2}$=60°．
设AB=r，则AG=$\frac{r}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴BF=2BG=$\sqrt{3}$r．
∵图中阴影部分的面积为27$\sqrt{3}$，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$BF•AG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$r×$\frac{r}{2}$=9$\sqrt{3}$，
解得r=6．
故答案为：6．

点评 本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．