Question

如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠DBC=75°，AB=DC=15，则S_△BCD为

 

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Answer 1

考点：轴对称的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：以BD边上的中垂线为对称轴作△DBC的轴对称图形△BDC₁，由轴对称的性质得出S_△DBC=S_△BDC1，∠C₁DB=∠CBD=75°，再由∠ADB+∠C₁DB=105°+75°=180°可知A，D，C₁共线．由三角形内角和定理求出∠ABD的度数，由C₁B=CD=AB可知∠C₁=∠A=45°，故△ABC₁是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：如图所示，以BD边上的中垂线为对称轴作△DBC的轴对称图形△BDC₁，则S_△DBC=S_△BDC1，∠C₁DB=∠CBD=75°，
∵∠ADB+∠C₁DB=105°+75°=180°，
∴A，D，C₁共线．
∵∠ABD=∠ABC-∠CBD=105°-75°=30°，
∴∠A=180°-105°-30°=45°．
∵C₁B=CD=AB=15，
∴∠C₁=∠A=45°，
∴∠ABC₁=90°，
∴△ABC₁是等腰直角三角形，
∴S_△BCD=S_△ABC1=

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×15×15=112.5．
故答案为：112.5．

点评：本题考查的是轴对称的性质，根据题意作出△DBC的轴对称图形△BDC₁，再根据轴对称的性质求解是解答此题的关键．