Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=$\frac{1}{2}$x+3与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B，点C为x轴正半轴上一点，点C关于直线AB的对称点D恰好落在y轴正半轴的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点B出发，以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，同时动点Q从点D出发沿射线DC匀速运动，在运动过程中，Q点始终在P点的上方，连接AP、AQ，且tan∠PAQ=$\frac{1}{2}$，连接PC、PQ，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t（单位：秒），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以线段PQ为直径作⊙M，设⊙M与射线DC的另一个交点为N，是否存点P，使$\frac{BD}{QN}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$？若存在，求出t值，并判断并直接写出此时直线PQ与x轴的位置关系？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作BE⊥AD于E，设DE=x，BD=y，由△△ABE≌△ABO，推出OA=AE=6，OB=BE=3，根据勾股定理列出关于x、y的方程组求出x、y即可解决问题．
（2）如图2中，作BF⊥CD于F，PH⊥CD于H．首先证明△DAQ∽△BAP，再分两种情形①点Q在点C上方时．②点Q在点C下方时，如图3中，分别计算即可．
（3）分两种情形讨论①点Q在点C上方时，如图4中，根据PN：DN=1：2，可得$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，②点Q在点C下方时，如图5中，根据PN：DN=1：2，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作BE⊥AD于E，设DE=x，BD=y．

在△ABE和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AOB=90°}\\{∠EAB=∠BAO}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△△ABE≌△ABO，
∴OA=AE，OB=BE，
∵B（0，3），A（-6，0），
∴AE=AO=6，EB=BO=3，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{3}^{2}={y}^{2}}\\{{6}^{2}+（3+y）^{2}=（6+x）^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴DE=4，
∵AD=AC=10，OA=6，
∴OC=4，
∴点C坐标为（4，0）

（2）如图2中，作BF⊥CD于F，PH⊥CD于H．

∵AD=AC，∠FAD=∠FAC，
∴AF⊥CD，
∴∠DFB=∠AOB=90°，
∵∠ABO=∠DBF，
∴∠BDF=∠BAO=∠BAD，
∵∠ABP=∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠BDF=∠ADQ，
由（1）可知tan∠DAB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，∵tan∠PAQ=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP，
∴△DAQ∽△BAP
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DQ}{BP}$，
∴DQ=$\sqrt{5}$t
∵DP=5+$\frac{3}{2}$t，tan∠ODC=$\frac{1}{2}$，
∴PH=.$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$，
①点Q在点C上方时．
∴s=$\frac{1}{2}$PH•QC=$\frac{1}{2}$PH（DC-DQ），
∴s=$\frac{1}{2}$×$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$（4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t）=$-\frac{3}{4}{t^2}$+$\frac{1}{2}$t+10（0≤t＜4）．
②点Q在点C下方时，如图3中，

∴s=$\frac{1}{2}$PH•QC=$\frac{1}{2}$PH（DQ-DC），
∴s=$\frac{1}{2}$×$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$（$\sqrt{5}$t-4$\sqrt{5}$）=$\frac{3}{4}{t^2}$-$\frac{1}{2}$t-10（t＞4）．

（3）∵$\frac{BD}{QN}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴NQ=2$\sqrt{5}$
∵PQ为直径，
∴∠PNQ=90°，
又∵tan∠ODC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PN}{DN}$=$\frac{1}{2}$
①点Q在点C上方时，如图4中，

∵PN：DN=1：2
∴$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，
∴t=0，
当t=0时，D、Q重合，PQ⊥x轴．
②点Q在点C下方时，如图5中，

∵PN：DN=1：2，
∴$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，
∴t=10，
当t=10时，DP=20，DQ=10$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{DC}{DQ}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DC}{DQ}$
∴PQ∥x轴．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用方程的思想思考问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．