Question

16．如图，正方形ABCD中，E是AB上的任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDG的位置．
（1）求证：F、D、G共线；
（2）求证：EF=GF．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性质得出∠ADC=∠B=90°，再根据旋转的性质可得∠CDG=∠B=90°，那么∠ADG=180°，根据平角的定义即可证明F、D、G共线；
（2）根据旋转的性质可得△CBE≌△CDG，则CE=CG，∠BCE=∠DCG，利用∠BCE+∠DCE=90°可得∠DCG+∠DCE=90°，所以∠ECF=∠FCG=45°，再利用“SAS”证明△CEF≌△CGF，则EF=GF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠B=90°，
∵将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDG的位置，
∴∠CDG=∠B=90°，
∴∠ADG=∠ADC+∠CDG=90°+90°=180°，
∴F、D、G共线；

（2）∵将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDG的位置，
∴△CBE≌△CDG，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠DCG+∠DCE=∠ECG=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠FCG=45°．
在△CEF与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CG}\\{∠ECF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平角的定义．