Question

11．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的顶点D、E在斜边AB上，点G、F分别在直角边AC、BC上，我们称正方形DEFG内接于△ABC．如果设正方形的边长为x，通过计算易得边长x的值为$\frac{60}{37}$．
探究与计算：
（1）如图（2），若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{30}{31}$；
（2）如图（3），若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{20}{29}$．
猜想与证明：如图（4），若三角形内有竖立排列的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥AB于M，根据正方形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质得到成比例线段，代入数据计算即可；
（2）由（1）的结论，列出比例式进行计算即可；
（3）根据（1）的结论，与（2）类似列出比例式进行计算即可．

解答 解：（1）作CM⊥AB于M，交CF于N，
设正方形的边长为x，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
$\frac{1}{2}$×5×CM=$\frac{1}{2}$×3×4，则CM=$\frac{12}{5}$，
∵四边形GDEF是矩形，
∴GF∥AB，
∴$\frac{GF}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-2x}{\frac{12}{5}}$，
解得x=$\frac{30}{31}$；
（2）由（1）得$\frac{x}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-3x}{\frac{12}{5}}$，
解得x=$\frac{20}{29}$；
（3）由（1）得$\frac{x}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-nx}{\frac{12}{5}}$，
解得x=$\frac{60}{12+25n}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．