Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AB于点F，交AC的延长线于点E．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AF=6，sinE=$\frac{3}{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）EF与⊙O相切，先根据等腰三角形三线合一得：BD是高线也是中线，由此得OD是△ABC的中位线，
所以OD∥AB，所以OD⊥EF，则EF与⊙O相切；

（2）设圆的半径为x，根据△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，则直径AC=$\frac{15}{2}$，则AB=$\frac{15}{2}$，由此可得结论．

解答 解：（1）EF与⊙O相切，理由是：
连接OD、AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）∵OD∥AB，
∴△EOD∽△EAF，
∴$\frac{OD}{AF}=\frac{OE}{AE}$，
Rt△AEF中，sinE=$\frac{3}{5}$=$\frac{AF}{AE}$，
∵AF=6，
∴$\frac{3}{5}=\frac{6}{AE}$，
∴AE=10，
设OD=x，则OA=OD=x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{10-x}{10}$，
x=$\frac{15}{4}$，
∴OA=$\frac{15}{4}$，
∴AC=2OA=$\frac{15}{2}$，
∴AB=AC=$\frac{15}{2}$，
∴BF=AB-AF=$\frac{15}{2}$-6=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系、切线的判定、等腰三角形的性质及三角函数的定义，知道直线和圆的三种位置关系：①相离，②相切，③相交；重点掌握相切的判定：边半径证垂直或有垂直证半径．