Question

12．研究函数f（x）=x²+ax和f（x）=（x-a）（x-b）的最小值．

Answer 1

分析 利用配方法对二次函数解析式进行转换，转换为顶点式，然后求值最值．
根据二次函数的解析式得到对称轴方程，结合二次函数图象的性质求最小值即可．

解答 解：f（x）=x²+ax=（x+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
因为该抛物线的开口向上，且顶点坐标为（$\frac{a}{2}$，-$\frac{{a}^{2}}{4}$），
所以当x=-$\frac{a}{2}$时，该函数的最小值为-$\frac{{a}^{2}}{4}$．

因为f（x）=（x-a）（x-b），
所以该抛物线的对称轴为x=$\frac{a+b}{2}$，
所以当x=$\frac{a+b}{2}$时，该函数有最小值，最小值为：f（x）=（$\frac{a+b}{2}$-a）（$\frac{a+b}{2}$-b）=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的最值的求法．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．