Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=

 

cm，AB与CD之间的距离为

 

cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,勾股定理,菱形的性质,相似图形

专题：几何综合题,压轴题,分类讨论

分析：（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．
（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；
③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：
①若PQ∥CD，如答图2-1所示；
②若PQ∥BC，如答图2-2所示．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB=

(  AC 2 )2+(  BD 2 )2

=

32+42

=5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S=

1

2

AB•h，
又∵△ABC的面积S=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×

1

2

AC•BD=

1

4

×6×8=12，
∴

1

2

AB•h=12，
∴h=

24

AB

=

24

5

．

（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC-PB=5-x．
过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=

4

5

（5-x）．
∴y=S_△APQ=

1

2

QA•PH=

1

2

×3×

4

5

（5-x）=-

6

5

x+6；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．
PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．
过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=

3

5

（10-x）．
∴y=S_△APQ=S_菱形ABCD-S_△ABQ-S_{四边形BCPQ}-S_△APD
=S_菱形ABCD-S_△ABQ-（S_△BCD-S_△PQD）-S_△APD
=

1

2

AC•BD-

1

2

BQ•OA-（

1

2

BD•OC-

1

2

QD•PH）-

1

2

PD×h
=

1

2

×6×8-

1

2

（9-x）×3-[

1

2

×8×3-

1

2

（x-1）•

3

5

（10-x）]-

1

2

（10-x）×

24

5

=-

3

10

x²+

36

5

x-

57

2

；

③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
y=S_△APQ=

1

2

AB×h=

1

2

×5×

24

5

=12．
综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：
y=

- 6 5 x+6(4≤x≤5) - 3 10 x2+ 36 5 x- 57 2 (5＜x≤9) 12(9＜x≤10)

．

（3）有两种情况：
①若PQ∥CD，如答图2-1所示．
此时BP=QD=x，则BQ=8-x．
∵PQ∥CD，
∴

BP

BC

=

BQ

BD

，
即

x

5

=

8-x

8

，
∴x=

40

13

；
②若PQ∥BC，如答图2-2所示．
此时PD=10-x，QD=x-1．
∵PQ∥BC，
∴

QD

BD

=

PD

CD

，
即

x-1

8

=

10-x

5

，
∴x=

85

13

．
综上所述，满足条件的x的值为

40

13

或

85

13

．

点评：本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算．