Question

已知正方形ABCD，P为直线BC上一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交∠DCM的平分线于点E，过点E作EH⊥BM，垂足为H，
（1）当点P在线段BC上时，求证：PC+EH=AB；
（2）当点P在BC的延长线上时，则PC、EH、AB之间的数量关系是

 

；
（3）当点P在CB的延长线上时，连接AC、AE，若S_{四边形APEC}=

9

2

，CE=

2

，求AE的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由ABCD为正方形，得到AB=BC=BP+PC，且∠DCM为直角，根据CE为角平分线，得到∠ECM=45°，即三角形ECM为等腰直角三角形，可得出PC+CH=PC+EH，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABP与三角形PHE相似，由相似得比例，等量代换即可得证；
（2）AB=EH-PC，理由为：同（1）得到得到三角形ABP与三角形PHE相似，由相似得比例，等量代换即可得证；
（3）同（1）得到得到三角形ABP与三角形PHE相似，由相似得比例，等量代换得到AB=PH，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用ASA得到三角形PBA与三角形PHE全等，由全等三角形对应边相等得到AB=PH，由PC=PH+HC，等量代换得到PC=AB+HE，由三角形ECH为等腰直角三角形，根据CE的长求出HE与CH的长，表示出四边形APEC的面积，将已知面积代入求出PC的长，进而求出AB与AC的长，在直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AE的长．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=BC=BP+PC，∠DCM=90°，
∵CE为∠DCM的平分线，
∴∠ECM=45°，
∴EH=CH，
∴PC+CH=PC+EH，
∵AB⊥BC，EH⊥BM，AP⊥PE，
∴∠B=∠H，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠APB+∠EPH，
∴∠BAP=∠EPH，
∴△ABP∽△PHE，
∴

AB

BP

=

PH

EH

，即

BP+PC

BP

=

PC+EH

EH

，
∴

1+PC

BP

=

1+PC

EH

，
∴BP=EH=CH，
∴AB=BC=BP+PC=PC+EH；
（2）如图同（1）可证△ABP∽△EHP，
∴

BP

AB

=

EH

PH

，即

AB+PC

AB

=

EH

EH-PC

，
∴

1+PC

AB

=

EH

EH-PC

，
∴

PC

AB

=

EH

EH-PC

-1=

PC

EH-PC

，
∴AB=EH-PC；
故答案为：AB=EH-PC；
（3）如图同（2）可证△ABP∽△PHE，
∴

PB

AB

=

EH

PH

，即

PC-AB

AB

=

EH

PC-EH

，
∴

PC

AB

-1=

EH

PC-EH

，
∴

PC

AB

=

EH

PC-EH

+1=

PC

PC-EH

，
∴AB=PC-EH=PC-CH=PH，
∵∠APB+∠HPE=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∴∠HPE=∠BAP，
在△ABP和△PHE中，

∠BAP=∠HPE AB=PH ∠ABC=∠PHE=90°

，
∴△ABP≌△PHE（ASA），
∴AB=PH，
∴PC=PH+HC=AB+EH，
由题意得：△CHE为等腰直角三角形，
∴EH=HC=

2

2

CE=1，
∵S_APEC=S_△APC+S_△EPC=

1

2

PC•AB+

1

2

PC•EH=

1

2

PC（AB+EH）=

1

2

PC²=

9

2

，
解得：PC=3，
∴AB=PC-EH=3-1=2，
∴AC=

2

AB=2

2

，
则AE=

AC2+CE2

=

8+2

=

10

．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，正方形的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．