Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AB=10cm，点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若点P、Q从B、C两点同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：动点型

分析：先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由CPQ与△CBA相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．

解答：解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AB=10cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-82

=6（cm），
设经过ts，△CPQ与△CBA相似，则有BP=2tcm，PC=（8-2t）cm，CQ=tcm，
分两种情况：
①当△PQC∽△ABC时，有

QC

BC

=

PC

AC

，即

t

8

=

8-2t

6

，解得t=

32

11

；
②当△QPC∽△ABC时，有

QC

AC

=

PC

BC

，即

t

6

=

8-2t

8

，解得t=

12

5

．
综上可知，经过

12

5

s或

32

11

s，△CPQ与△CBA相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及一元一次方程的解法，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．