Question

10．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；按此规律继续下去，可得到△A_nB_nC_n，记其面积为S_n．则S₁=19，S_n=19ⁿ．

Answer 1

分析 首先根据题意，求得S_△ABC1=2S_△ABC，同理求得S_△A1B1C1=19S_△ABC，则可求得面积S₁的值；根据题意发现规律：S_n=19ⁿS₀即可求得答案．

解答 解：连BC₁，
∵C₁A=2CA，
∴S_△ABC1=2S_△ABC，
同理：S_△A1BC1=2S_△ABC1=4S_△ABC，
∴S_△A1AC1=6S_△ABC，
同理：S_△A1BB1=S_△CB1C1=6S_△ABC，
∴S_△A1B1C1=19S_△ABC，
即S₁=19S₀，
∵S₀=S_△ABC=1，
∴S₁=19；
同理：S₂=19S₁=19²S₀，S₃=19³S₀，
∴S_n=19ⁿS₀=19ⁿ．
故答案是：19；19ⁿ．

点评 此题考查了三角形面积之间的关系．注意找到规律：S_n=19ⁿS₀是解此题的关键．