Question

16．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的$\frac{1}{3}$，其中圆的半径为4cm，求：
（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）要求AB的长，只要作OC⊥AB于点C，然后根据勾股定理即可解答本题；
（2）由图可知，阴影部分的面积是扇形的面积与三角形的面积之差．

解答 解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图所示，
∵在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的$\frac{1}{3}$，其中圆的半径为4cm，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，∠OAC=30°，
∴OC=2cm，
∴AC=2$\sqrt{3}$cm，
∴AB=4$\sqrt{3}$cm；
（2）∵OC=2cm，AB=4$\sqrt{3}$cm，∠AOB=120°，OA=4cm，
∴阴影部分的面积是：$\frac{120×π×{4}^{2}}{360}-\frac{4\sqrt{3}×2}{2}$=（$\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}$）cm²．

点评 本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．