如图.正方形ABCD在平面直角坐标系中.各顶点的坐标分别为A.D(0.4)．P.Q分别从点B.O出发.均以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动.运动时间t(s):作PE⊥PA.QE⊥x轴交于点E.直线AE交y轴于点F．(1)求证:PA=PE,(2)连接DE.求当t为何值时.线段DE的长最小?并求DE长的最小值,(3)连接PF.设y=PO+OF+FP.求y关于t的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为A（-4，4），B（-4，0），C（0，0），D（0，4）．P、Q分别从点B、O出发，均以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，运动时间t（s）：作PE⊥PA，QE⊥x轴交于点E，直线AE交y轴于点F．
（1）求证：PA=PE；
（2）连接DE，求当t为何值时，线段DE的长最小？并求DE长的最小值；
（3）连接PF，设y=PO+OF+FP，求y关于t的函数关系式．

分析（1）证△ABP≌△PQE即可；
（2）作EG⊥OD，则BP=OQ=EQ=EG=t，DG=4-t，根据勾股定理DE²=t²+（4-t）²=2t²-8t+16，运用二次函数的最值解决；
（3）用t表示出PO，OF，PF即可．

解答解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BO=4，
∵P、Q分别从点B、O出发，均以每秒1个单位的速度x轴向右运动，
∴PB=EQ，AB=PQ，
在△ABP和△PQE
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BQ}\\{∠ABP=∠PQE=90°}\\{BP=QE}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△PQE
∴PA=PE；
（2）如图，作EG⊥OD，则BP=OQ=EQ=EG=t，DG=4-t，
根据勾股定理DE²=t²+（4-t）²=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
∴t=2，DE²的最小值是8，
∴DE的最小值是2$\sqrt{2}$；
（3）根据题意易得：当t≤4时，PO=4-t；
∵A（-4，4），E（t，t）
设直线AE的解析式为：y=kx+b
把A、E两点坐标代入得解析式：y=$\frac{t-4}{t+4}$x+$\frac{8t}{t+4}$
∴0F=$\frac{8t}{t+4}$
在Rt△POF中，
PF=$\sqrt{O{P}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}+16}{t+4}$
∴y=PO+OF+FP=4-t+$\frac{8t}{t+4}$+$\frac{{t}^{2}+16}{t+4}$=8．
同理当t＞4时，PO=t-4，y=2t．