Question

6．如图，抛物线y=ax²-2x+c经过点P（-2，3），顶点Q的横坐标为-1，设抛物线与x轴相交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A，B的坐标；
（3）设BQ与y轴相交于点C，求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）由顶点Q的横坐标为-1，那么-$\frac{b}{2a}$=-1，再把点P坐标代入即可；
（2）抛物线与x轴相交于点A，B．此时，函数值y=0，可化为一元二次方程求解；
（3）首先求出抛物线y=-x²-2x+3的顶点坐标为（-1，4），然后再确定直线BQ的解析式为y=-2x+2，求得OC=2，结论即可得出．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{3=4a+4+c}\\{-\frac{-2}{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得a=-1，c=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3

（2）把y=0代入y=-x²-2x+3得：-x²-2x+3=0，
整理得x²+2x-3=0．
变形为（x+3）（x-1）=0，
解得x₁=-3，x₂=1．
∵抛物线与x轴的交点A点在x轴负半轴，B点在x轴正半轴，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（3）∵抛物线y=-x²-2x+3的顶点坐标为：（-1，4），
设直线BQ的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-k+b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=2，
∴y=-2x+2，
∴C（0，2）
∴OC=2，OA=3，
∴tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，锐角三角函数，解题的关键是正确求出抛物线的表达式．