Question

（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据概念，不难发现：随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦值的变化规律；
（2）根据正余弦值的变化规律，即可比较正余弦值的大小．
解答：解：（1）由图①，知
sin∠B₁AC₁=，sin∠B₂AC₂=，
sin∠B₃AC₃=．
∵AB₁=AB₂=AB₃且B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，
∴＞＞．
∴sin∠B₁AC₁＞sin∠B₂AC₂＞sin∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃，
而对于cos∠B₁AC₁=，
cos∠B₂AC₂=，
cos∠B₃AC₃=．
∵AC₁＜AC₂＜AC₃，
∴cos∠B₁AC₁＜cos∠B₂AC₂＜cos∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃．
由图②知sin∠B₃AC=，
∴sin²∠B₃AC=．
∴1-sin²∠B₃AC=1-==．
同理，sin∠B₂AC=，1-sin²∠B₂AC=，
sin∠B₁AC=，1-sin²∠B₁AC=．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴＜＜．
∴1-sin²∠B₃AC＜1-sin²∠B₂AC＜1-sin²∠B₁AC．
∴sin²∠B₃AC＞sin²∠B₂AC＞sin²∠B₁AC．
∵∠B₃AC，∠B₂AC，∠B₁AC均为锐角，
∴sin∠B₃AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
而对于cos∠B₃AC=，
cos∠B₂AC=，
cos∠B₁AC=．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴＜＜．
∴cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．

（2）由（1）知
sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
点评：理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律．