Question

4．如图，点O是△ABC内一点，点P、Q、R分别在边AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP=OQ=OR，BC=a，CA=b，AB=c，求OP的长．

Answer 1

分析 延长PO交AC于M，延长QO交AB于N，如图，设OP=OQ=OR=x，易证得四边形ANOR、四边形CMOQ为平行四边形，则MC=OQ=x，ON=AR，根据相似三角形的判定易得△ROM∽△ABC，利用相似比可得RM=$\frac{b}{c}$x，再判断△NOP∽△ACB，利用相似比可得NO=$\frac{b}{a}$x，则AR=$\frac{b}{a}$x，所以$\frac{b}{a}$x+$\frac{b}{c}$x+x=b，于是解得x=$\frac{abc}{ab+bc+ac}$．

解答 解：延长PO交AC于M，延长QO交AB于N，如图，设OP=OQ=OR=x，
∵OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，
∴四边形ANOR、四边形CMOQ为平行四边形，
∴MC=OQ=x，ON=AR，
易证得△ROM∽△ABC，
∴$\frac{RM}{AC}$=$\frac{OR}{AB}$，即$\frac{RM}{b}$=$\frac{x}{c}$，
∴RM=$\frac{b}{c}$x，
易证得△NOP∽△ACB，
∴$\frac{NO}{AC}$=$\frac{OP}{CB}$，即$\frac{NO}{b}$=$\frac{x}{a}$，
∴NO=$\frac{b}{a}$x，
∴AR=$\frac{b}{a}$x，
∵AR+RM+MC=AC，
即$\frac{b}{a}$x+$\frac{b}{c}$x+x=b，
∴x=$\frac{abc}{ab+bc+ac}$，
即OP的长为$\frac{abc}{ab+bc+ac}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质．