题目内容
已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从B、A两点出发，分别沿BA、AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，AP=2AQ？
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形？
（3）作DQ∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值，△BDP∽△PDQ？
考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形
专题：
分析：（1）由题意可知BP=t，AQ=2t，则AP=6-t，由AP=2AQ可得到关于t的方程，可求得t的值；
（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，再利用含30°角的直角三角形的性质可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分别求t即可；
（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可证得△APQ为等边三角形，可得AP=AQ，得到关于t的方程，可求出t．
（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，再利用含30°角的直角三角形的性质可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分别求t即可；
（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可证得△APQ为等边三角形，可得AP=AQ，得到关于t的方程，可求出t．
解答：解：（1）由题意得：BP=t，AQ=2t，则AP=6-t，
由AP=2AQ得，6-t=4t，解得t=
，
即当t=
时，AP=2AQ；
（2）若△APQ为直角三角形，则∠APQ=90°或∠AQP=90°，
当∠APQ=90°时，
=cosA=cos60°=
，即
=
，解得t=3；
当∠AQP=90°时，
=cosA=cos60°=
，即
=
，解得t=
．
∴当t=3或t=
时，△APQ为直角三角形；
（3）∵DQ∥AB，
∴
=
，
∵CA=CB，
∴BD=AQ=2t，
又∵DQ∥AB，
∴∠APQ=∠PDQ，
当△BDP∽△PDQ时，
∴∠B=∠PQD，
∴∠B=∠APQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴AP=AQ，即6-t=2t，解得t=2．
所以当t=2时，△BDP∽△PDQ．
由AP=2AQ得，6-t=4t，解得t=
| 6 |
| 5 |
即当t=
| 6 |
| 5 |
（2）若△APQ为直角三角形，则∠APQ=90°或∠AQP=90°，
当∠APQ=90°时，
| AP |
| AQ |
| 1 |
| 2 |
| 6-t |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
当∠AQP=90°时，
| AQ |
| AP |
| 1 |
| 2 |
| 2t |
| 6-t |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
∴当t=3或t=
| 6 |
| 5 |
（3）∵DQ∥AB，
∴
| AQ |
| CA |
| BD |
| BC |
∵CA=CB，
∴BD=AQ=2t，
又∵DQ∥AB，
∴∠APQ=∠PDQ，
当△BDP∽△PDQ时，
∴∠B=∠PQD，
∴∠B=∠APQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴AP=AQ，即6-t=2t，解得t=2．
所以当t=2时，△BDP∽△PDQ．
点评：本题主要考查相似三角形的性质和等边三角形的性质，利用条件得到关于t的方程是解题的关键，注意分类思想和方程思想的应用．
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