题目内容

已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在 $数学公式$ 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到 $数学公式$ 的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到 $数学公式$ 什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD= $\text{[math]}$ ．，
∴PC= $\text{[math]}$ ．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ PC= $\text{[math]}$ ；

（2）当点P运动到 $\text{[math]}$ 的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴∠PCB=45°，
BE=CE= $\text{[math]}$ BC=2 $\text{[math]}$ ．
在Rt△EPB中，tan∠EPB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴PE= $\text{[math]}$ BE= $\text{[math]}$ ．
∴PC=PE+CE= $\text{[math]}$ ．．
∴CQ= $\text{[math]}$ PC= $\text{[math]}$ ．

（3）点P在 $\text{[math]}$ 上运动时，恒有CQ= $\text{[math]}$ PC．
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，则△ACB∽△PCQ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求得CQ；
（2）根据已知得BE，再由三角函数得出PE，PC，从而求出CQ；
（3）点P在 $\text{[math]}$ 上运动时，有CQ= $\text{[math]}$ PC．当PC最大时，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理和解直角三角形，是中考压轴题，难度偏大．